用数学模型巧解题（精选10篇）
用数学模型巧解题 第1篇
巧用平移求面积
湖北省黄石市鹏程中学 陈贵芳
同学们，你会用平移去求图形的面积吗？其实，某些求图形面积的问题，若能想到用平移知识并将部分图形平移后去解，那么你会品尝到方便简捷的滋味！请看几例：
例1 图1是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，则图中阴影部分的面积为_____cm．
解析1：虽然阴影部分是一个梯形，但因其上底CG、下底DF和高都不易求出，故直接用梯形的面积公式去求它的面积很困难．由题意，知△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，所以S＝S，从而S
＝
＝S
＝(AB+GE)BE＝ [8＋（8－3）]×4＝26 cm．
解析2：连AD，由平移知，CF＝BE＝AD＝4 cm，所以S
＝S－S
＝CF×AB－ ×AD×DG＝4×8－×4×3＝26 cm．
例2 如图2，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路（长度单位：m），那么草坪的面积为______ m
解析：将两条小路分别作如图3所示的平移，则草坪的面积就是图3中空白部分（长方形）的面积，即（50－2）×（30－2）＝1344 m．
例3 如图4所示是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区（空白部分）、②号区（阴影部分）、③号区（图下方的空白部分）三块，拟在①号区种花、②号区建房、③号区植树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形（一腰和底相交成直角的梯形叫做直角梯形，这里∠C和∠G都是直角），求种花部分的面积．
解析：显然，因①号区是不规则的图形，不易直接求其面积，考虑到四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形，故可将四边形EFGH看成是四边形ABCD沿AB方向平移得到的，所以①号区面积等于③号区面积，而③号区面积等于×（EM+AD）×MD＝ ×（200－1＋200）×2＝399（m），所以种花部分的面积为399（m）．
例4 如图5，长方形ABCD中，AD＝2AB，EF分别为AD、BC的中点，扇形块P（线段EF左边的阴影部分）和扇形块Q（右边的空白部分）的半径FB、CF的长度都等于acm，求阴影部分的面积．
解析1：如图5，由条件，知四边形ABFE和四边形EFCD是两个完全相同的正方形，扇形块P的面积＝扇形块Q的面积．可将扇形块Q沿CB方向平移至扇形块P的位置，知这两个扇形块会完全重合，因①号区域（空白部分）的面积＝②号区域（线段EF右边的阴影部分）的面积，所以阴影部分的面积等于扇形块P的面积+②号区域面积＝扇形块P的面积+①号区域的面积＝正方形ABFE的面积＝FB＝a（cm）．
解析2：因扇形块P的面积＝扇形块Q的面积，故亦可将②号区域沿DA方向平移至①号区域，显见阴影部分的面积＝正方形ABFE的面积＝a（cm）．
用数学模型巧解题 第2篇
随着课程改革的推进，我意识到数学作业的批改，单纯地用“√”和“×”来评价影响了师生之间思想，情感的交流，也影响了学生的学习热情。于是我尝试在作业批改中利用评语弥补这些不足。作业中的评语，便于学生更清楚地了解自己作业中的优缺点，加强师生间的交流，促进学生各方面和谐统一的进步。将评语引入数学作业的批改中，肯定其成绩，指出其不足，调动了学生的学习积极性，取得了较好的效果。
一，指导方法，激发兴趣，强化动机
当学生作业中出现审题，观察，分析，判断等方面的错误时，老师可以利用评语进行方法指导，让学生找出正确的解题方法。如“先找准数量关系式”，“再仔细读读题目的要求”，“下一步该干什么”等评语实际是向学生提示思考的路线。学生在老师的.提示下自己去思考，改正。
不仅如此，恰当的评语可以激发学习兴趣，强化学习动机。“解得巧，真棒!”，“你肯定有高招，老师相信你!”。对于质量差的作业，应尽量发现他们的闪光点，以鼓励的语气调动他们的积极性。“你准行!”“你的进步很大。”“看到你在进步，老师发自内心地为你高兴，希望你更上一层楼。”这种带感情色彩的评语使学生感受到了老师对他的关爱，充满了希望。从而会使逐渐产生浓厚的学习兴趣。学生作业做得又对又好，除了打上“☆”外，还加上各种评语展开竞赛。如“你好棒!”“太妙了!”“verygood!”“best!”对于这些陌生而新鲜的评语，学生充满了兴趣，自然使其更爱学习数学。
二，严格要求，积极鼓励，养成良好的学习习惯
学生作业的评语除了可以指导做题方法，激发学习动机，还能对学生进行学习习惯的评价。养成良好的学习习惯是掌握知识，培养能力的基础，对学生今后的学习起着至关重要的作用。及时用恰当的评语指出作业中的不足之处，能使学生很快地加以改正。例如，“你很聪明，如果字再写得好一点，那就更好了!”“最近你有点马虎，老师相信你一定能战胜它!”，“和细心交朋友!”，“你的字写得可真漂亮，要是能提高正确率，那肯定是最棒的!”或者“再细心一些，准行!”这样，一方面不打击其自信，另一方面使其纠正不良倾向，培养严谨的致治学态度。
用数学模型巧解题 第3篇
举个例子像是模型、图形、方程、函数等等, 在数学中这几种数的表达形式, 我们都要巧妙灵活的运用, 进一步解决问题的关键. 用构造法计算题目, 会令代数、几何、三角等各种数学表达形式互相依赖、渗透, 对学生运用这一块的知识, 有很大的帮助, 并且能够提高学生的灵活思维能力, 并能够独立解决数学问题, 逻辑能力加强, 创新能力等等都会有所提高. 有很多的数学问题都通过了这种简便, 快捷的方法加以解决. 下面举几个常见的例子加以说明.
一、构造函数法
在解决一些数学问题的时候, 我们可以根据问题的条件, 问题, 从而分析, 数形结合构造新的问题加以解决. 还有就是在计算不等式的时候, 有很多情况都要构造函数, 把原来抽象的不等式改变成我们所熟悉的函数, 并利用函数的性质加以解决.
例1已知x > 0, 求证:
显然: 因为2≤α < β, 所以α - β < 0, αβ > 1, 所以f ( α) f ( β) < 0,
所以f ( x) 在[2, + ∞ ) 上是单调递增的, 所以
二、构造递推数列
数列也是数学问题的一大核心内容, 在某种程度上数列的通项公式和函数的解析式差不多少, 只要通项公式已知就可以求出很多未知的量, 像是前多少项的和. 因此, 数列类型题的突破口就很好找, 通项公式就是关键. 所以在许多年的高考考场上所出现的数列类问题有很多都是靠构造递推数列来解决问题的, 先求出通项公式, 之后构造.
例2已知数列{an} 满足: a1= 1, an+1= 2an+ n + 1, n∈N*, 若数列{an+ pn + q} 是等比数列, 求p、q的值; 求通项.
则存在常数p = 1, q = 2使得数列{ an+ pn + q} 为等比数列.
三、构造方程或方程组
根据题中所给的条件, 加以分析观察, 构造出一个或多个方程, 这样一些比较抽象困难的问题, 用方程列出来, 一下子就明了了, 简单, 方便, 抽象具体化了.
例3已知实数x, y, z满足x + y = 5, z2= xy + y - 9, 求x+ 2y + 3z的值.
解: 由已知可得: ( x + 1) + y = 6, ( x + 1) y = z2+ 9.
以x + 1, y为两实数根, 构造方程m2- 6m + z2+ 9 = 0, 因为方程有实根, 所以
所以z2= 0, 且Δ = 0, 所以方程m2- 6m + 9 = 0有两个相等实数根, 所以m1= m2= 3, 于是有x + 1 = y = 3, 所以x = 2, y = 3, z = 0, 所以x + 2y + 3z = 8
四、构造图形法
在很多时候, 我们都比较讨厌枯燥乏味的理论知识. 因此, 思路受到阻碍. 这个时候我们可以考虑画图象或者是把题干画出来, 便于我们在分析的过程中理解题意. 图象对于我们来说更直观, 构造图形也无非是一个解题的好方法.
例4已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合S, T为U真子集, 若, 则有 ( )
由图可知, 答案一目了然, 选择 ( C) 选项
构建物理模型巧解题 第4篇
一、根据物体或系统的状态构建物理模型
此类问题是根据物体或系统所处的状态进行理想化处理，恰当地构建物理模型，进而使问题顺利获解.
例1 研究表明，地球表面附近的电场强度不为零，假设地球表面附近的电场强度的平均值为30V/m，方向竖直向下，试求地球表面附近每平方米所带的负电荷的电量.
解析 由于地球是一个孤立导体，所以可以把地球看成：电荷在其表面均匀分布的一个带负电的导体球，在球外的电场与负点电荷的电场相似，如图1所示，因此可以把整个系统理想为一个点电荷模型.
[地球]
图1
设地球带电荷量为[Q]，则由真空中点电荷的场强公式可得[E=kQR2]，其中[R]为地球的半径.
则地球表面附近每平方米的面积上的电荷量为
[q=Q4πR2]
联立以上两式可解得
[q=E4πk=304×3.14×9×109]C/m2=2.65×10–10C/m2
点评 本题根据地球所处的状态构建“孤立带电导体”的电场模型，且与理想点电荷电场等效，即将理想化模型与等效法的联合运用，从而使问题简捷获解.
二、发掘隐含条件构造物理模型
物理模型常常可从隐含条件的发掘中进行构建，即模型存在于隐含条件之中.
例2 光滑绝缘的水平面上，一个带电粒子在半径为[r]的圆周上绕圆心处一固定不动的带电质点做匀速圆周运动. 若运动中带电粒子与另一质量相同、原来静止的带电粒子合并，另一带电粒子的电量是做匀速圆周运动粒子带电量的一半，且与圆心处带电质点的电性相同，则合并之后的颗粒（ ）
A. 仍在原轨道上做匀速圆周运动
B. 开始做匀速直线运动
C. 开始做不是圆周的曲线运动，且离圆心越来越近
D. 开始做不是圆周的曲线运动，且离圆心越来越远
解析 本题的隐含条件是：“一个带电粒子在半径为[r]的圆周上绕圆心处一固定不动的带电质点做匀速圆周运动. ”这说明两个粒子的电性相反，库仑力提供向心力，据此构建如图2所示的模型.
[+][+]
图2
当它与另一个与圆心处带电质点的电性相同的粒子合并后，将发生中和现象，总电量变为[q2]. 则没合并前，有
[kQqr2=mv2r] ①
合并时动量守恒，有[mv=2mv′]，则[v′=v2] ②
设合并后粒子的运动半径为[r′]，则有
[kQq2r′2=2mv′2r′] ③
联立①②③可解得[r′=r]. 故应选A项.
点评 本题根据对隐含条件的发掘，从中构建出[A、B]两粒子电性相反的碰撞模型，进而使问题巧妙获解.
三、根据提取的有效信息构建物理模型
从题目中获取有效信息是解题能力的基本要求，有效地获取信息是构建物理模型的关键.
例3 向空间发展最具可能的是在太阳系内地球附件建立“太空城”. 设想中的一个圆柱形太空城，长1600m，直径200m，在电力的驱动下，绕自身轴转动. 其外壳为金属材料，内壁沿纵向分隔成6个部分，窗口和人造陆地交错分布，陆地上覆盖1.5m厚的土壤，窗口外有巨大的铝制反射镜，可调节阳光的射入，城内部充满空气，太空城内的空气、水和土壤最初可从地球和月球运送，以后则在太空城内形成与地球相同的生态环境. 为了使太空城的居民能如地球上一样具有“重力”，以适应人类在地球上的行为习惯，太空城将绕自己的中心轴以一定的角速度转动，试求太空城自转的转速.
解析 根据题给信息：“圆柱形太空城内壁沿纵向分隔成6个部分，窗口和人造陆地交错分布，陆地上覆盖1.5m厚的土壤，”从而构建出如图3所示的物理模型. “居民能如地球上一样具有‘重力’，以适应人类在地球上的行为习惯，”这一信息说明人受人造陆地的支持力与人在地球上所受的重力大小相等，即人随太空城自转所需的向心力由人造陆地对人的支持力提供，如图3.
[陆地][窗口]
图3
设太空城的转速为[n]，则根据向心力公式，有
[N=mrω2]，其中[N=mg]，[ω=2πn]
[r]=（100-1.5）m=98.5m
解得[n]=3rad/min.
四、根据获取的新知识构建物理模型
获取新知识是培养我们终身学习的基本要求，物理模型的构建也是我们获取新知识的一种重要手段.
例4 物体从地球的逃逸速度为[v=2GMR]，[G]为引力常量，[M]为地球的质量，[R]为地球的半径. 对任意一个天体都存在着这种逃逸速度，当逃逸速度大于真空中光速时，任何物体包括光子都因速度达不到逃逸速度而不能脱离天体的束缚，外界就根本看不见这个天体上射出的任何物质. 这就是经典物理学上所说的“黑洞”.
（1）当某种天体的质量[m]=1.98×1030kg时，它的最大半径为多少才能成为“黑洞”？
（2）假设宇宙是一个大球体，其密度使得其逃逸速度大于光速[c]，任何物体都不能脱离宇宙，物质的平均密度[ρ]= 1.0×10–27kg/m3，则宇宙的半径至少多大？
解析 本题中的逃逸速度公式[v=2GMR]是中学物理中没有的知识，而题中关于经典物理学上“黑洞”的阐述是构建物理模型的关键，即“任何物体包括光子都因速度达不到逃逸速度而不能脱离天体的束缚”，则有[c （1）由于[c [R<2Gmc2=2×6.67×10-11×1.98×1030（3×108）2]m =2.93×103m （2）设宇宙半径为[r]，则宇宙的质量为，[m=43π r3ρ] 则由逃逸速度公式，得 [r=c83Gρπ=3×10883×6.67×10-11×3.14×1.0×10-27m] =4.0×1026m=4.23×1010光年 综上所述，在应用物理概念、规律分析和解决物理问题时，能恰当地建立题设情境下的物理模型，这是我们必须学会的技巧，它有不仅利于提高我们综合分析问题的能力，也有利于提高我们的创新思维能力. 当一道应用题出现两种标准量时，数量关系比较复杂，学生很难分析出它们之间的关系，给解题造成了一定的困难。这时我们可以通过两种单位之间的内在联系，把两种单位转化成一种标准单位，使比较复杂的数量关系转化成比较简单的数量关系，从而达到解题的目的。 例1.某校举行两次数学竞赛，两次参加的人数相同。第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人。第二次及格人数增加5人，恰是不及格人数的.6倍。问有多少人参加数学竞赛? 这道题虽然第一次及格人数与第二次及格人数都是以不及格人数为标准量，但由题意可知两次不及格的人数不同，所以标准量不同。我们不妨用下面方法转化标准量，使其单位“1”统一。 解：设第一次不及格人数为单位“1”，则第二次不及格人数为(“1”-5)。 此题变为：某校举行两次数学竞赛，两次参加人数相同。第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人。第二次及格人数增加5人，恰是(“1”-5)的6倍，即恰是第一次不及格人数的6倍少5×6人。问有多少人参加数学竞赛? 这时我们通过画线段图很容易列出算式： (5×6+5+4)÷(6-3) =39÷3 =13(人)……第一次不及格人数 13×3+4+13=56(人)……参加竞赛人数 例2.有两队小朋友做游戏，甲队比乙队的3/4还多10人。若乙队给甲队10人，则甲队是乙队的4/5，求两队原来各有多少人? 此题虽然都是以乙队为标准量，但原来乙队人数与调整后乙队人数(即现在乙队人数)不同，所以标准量不同，我们也可以按上面方法进行转化。 设原来乙队为标准量“1”，现在乙队为(“1”-10)，现在甲队人数是(“1”-10)×4/5，即现在甲队人数是原来乙队的4/5少10×4/5人。 通过转化此题变为： 有两队小朋友做游戏，甲队比乙队的34还多10人。若乙队给甲队10人，则现在甲队是原来乙队的4/5少10×4/5人。 求两队原来各有多少人? 这时通过画线段图很容易找到对应关系，从而列出算式： (10+10+10×4/5)÷(4/5-3/4) =28÷120 =560(人)……原来乙队人数 黑龙江省八五三农场清河小学 陈莹 故事的魅力是无穷的，爱听故事一直是小学生的重要特点，不知大家有没有发现，一说有故事可听，再顽皮的孩子也会放下一切，瞪大他的眼珠子，摆出一副也许从来不曾有过的聚精会神的样子，等着你讲故事给他听呢。故事能在第一时间抓住小学生的注意力，它能把枯燥无味的数学知识变得生动有趣，引人入胜，更有利于活跃学生的思维，调动学生对学习的积极性。下面我就来与大家分享一则我在数学课堂教学中的案例。 故事情境：在数学王国里，有很多很多的数，其中有一对兄弟俩长的非常相似，（板书：257.6、25.76）你能分辨出它们的大小吗？如果这兄弟俩能相互团结，和睦相处那该多好呀。可是257.6依仗自己大，对25.76不仅不爱护，反而经常欺负它，这件事被生活在它们身边的小数点知道了。小数点决定要为25.76讨回公道，机会终于来了，这天257.6又在耍威风，那神气劲儿就别提了，就在它得意洋洋的时候，小数点悄悄地从“7”的右下角来到了“2”的右下角（教师操作橡皮泥小数点），大家再看这个数（手指2.567）还能神气吗？为什么呢？从上面这个故事，我们可以看出一个什么问题呢？那就是小数点位置移动能使小数的大小发生变化。那么，发生了怎样的变化呢？今天，我们就来研究这个问题。 这一节课我采用故事导入新课，把枯燥无味的导入新课变得生动有趣，从而激发学生的学习兴趣。通过动画的形式，把小数点变化的位置表现得活灵活现，这样就更加生动地表现“小数点位置移动引起小数大小的变化”，学生的思维从抽象思维过渡到直观性思维，这样有趣地引入课题，符合小学生的思维发展，这样用故事引入的方法，可以收到事半功倍的效果。 关键词：高中数学教学,解题教学,构造法 1.运用构造法简化问题, 树立求简意识, 强化解题能力 在解题中恰当运用构造法, 能够帮助我们灵活且简捷快速地解决问题, 构造法的该项特点能够很好地增强学生的求知欲望, 并愿意主动尝试, 却在具体解题过程中很难得心应手, 面对构造无所适从.因此学生需要教师给予指导以培养解题中的求简意识, 当遇到数学题中难以用常规方法解决的时候, 可以考虑通过应用构造法打破常规, 开辟另一条简单可行之路将该问题进行简化解决. 对于学生这种解题意识形成需要通过教师日常教学中多运用构造法, 在指导构造法简化题目的同时让学生领悟构造法真正的意义, 加强对构造法的意识, 从而养成难题求简的习惯. 2.几种具体的构造途径 2.1函数构造, 发展学生的思维. 在高中数学教学中函数教学作为重要的内容, 运用函数的构造法有效解决类似的题目, 能够提高学生的解题能力.解题思维方式作为高中学生教学中的主线, 无论是方程形式还是代数形式的题型, 都蕴含了一定的函数结构性思想, 对于此类型的问题时可以将其转化为函数关系, 将题目简化成为函数的形式, 根据基础知识进行解题.运用该项构造法能够发展学生的解题思维和创造性思维. 对此函数构造法列举以下例题:已知:m<n, m、n、a∈R+, 求证:.根据题目给出的条件可知, 如果a由x来代替, 则能够得到一个关于x的分式, 即:.如果将分式当做为一个函数 , 且x∈R+, 则能够对该函数构造出:, 并且可将为增函数是在区间[0, ∞) 内, 对此求解.即将原题转化为构建的函数在区间[0, ∞) 内是一个增函数, 则可求解本题.将函数构建运用到高中数学解题授课中, 结合题目的特点应用函数解题思维, 将较复杂性的原题转化成为常规的函数知识, 应用函数的构造能够有效培养高中生的逻辑思维能力和发散性思维. 2.2方程构造, 增强学生观察能力. 在解题教学工作中方程运用是教学中重要的工具. 方程构造法能够有效帮助学生解题, 对已知知识和未知知识形成联系, 建立其结论和数学问题中的联系条件, 使教学问题中抽象性和隐含性的关系得到特殊化和实质化的解决, 能够帮助学生快速解决数学问题, 同时能够培养学生对问题的直观思维能力和观察能力.比如, 在高中数学教学中, 函数y=f (x) 和方程f (x) =0的图像在x轴焦点的横坐标上即为方程的解.在解题教学中苏教版的等差数列中, 有以下题目:求证方程 (m-n) 2 -4 (n-x) (x-m) =0中m, n, x成等差数列.在这些题目中运用方程构造法进行解题教学, 能够将结论和条件两者建立起联系并且简化解题过程.在这个题目中, 能够分析出左边等式中的结合相似特点, 判别式为结构一元二次方程模型, 就此构建一元二次方程:① (n-x) t 2 + (m-n) + (x-m) =0, 左边部分的判别式方程①的等式:△= (m-n) 2 -4 (n-x) (x-m) .依据本题可知△=0, 两个实数根在方程①当中, 且两实数根相等.再根据 (n-x) + (m-n) + (x-m) =0得出, t=1是方程①的一个根 , 因此t1=t2=1是方程式中的两个实数根, 再结合韦达定理最终可知m+n=2x, 因此m, n, x成等差数列[3]. 2.3构造图形, 以数思形, 数形相融. 有些时候数比较抽象, 而形直观具体, 抽象的代数式可能让人无从下手, 但是通过构造几何图形能够帮助我们化难为易, 轻松解题. 如求以下式子的值:cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°在解题中可以根据正弦定理 , 构造一个直径为1的圆, 并在里面构造一个三角形△ABC. 通过构造几何图形解决数学题, 不仅能够使教师走出教学误区, 还能够提高教学效率, 引导学生以数思形, 数形结合, 进而激发他们的学习兴趣. 3.结语 运用构造法能够有效提高学生的解题能力, 更直观地分析问题.数学教育工作者应当加强构造法教学, 由于构造法需要结合数学中的基础知识运用, 因此教师应当在日常教学过程中既要注重强化学生的基础知识、基本技能, 又要适时渗透构造法, 将两者有机结合、相融相成, 逐步培养解题中的构造法思维. 参考文献 [1]费小龙.构造法的几种思考途径[J].数学通讯, 2010, 2 (12) :111. [2]罗碧芸.构造法在中学数学中的应用[J].高中数学教与学, 2009, 4 (11) :16-17. 关键词：数轴；作用；求解 初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。 一、数轴有四个方面的作用 1.数轴能反映出数形之间的对应关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来，而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。 2.数轴能反映出数的性质 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数——零，是个“中性”数；有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧。 3.数轴能解释数的某些概念 （1）相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。 （2）绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念，一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。 （3）近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表示出某一近似数的精确度。如，近似数3的精确度可在数轴上表示，即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。 4.数轴可使有理数比较大小形象化 两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。 二、对于某些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快 1.用数轴比较实数大小，解决求样本的中位数的问题 问题1：由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，则1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位数是____________。 分析：要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数轴。 解：在数轴上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的点，使x1 ■ 观察数轴知x1 2.用数轴求字母的取值范围求值 问题2：若不等式组的解集不在2 ■ 解：由不等式组x-a>1a-x>-3 所以a+1 3.用数轴解含有绝对值的方程 ■ 问题3：解方程：x+3+x-1=6 分析：由绝对值的几何意义可知，此方程表示在数轴上求一动点x，使x到定点A（-3）的距离与到定点B（1）的距离之和等于6，如图3。由数轴上的点的性质可知，这样的点x有两个，即表示-4与2的点，所以方程的解为x=-4或x=2。 4.用数轴取零点，求最值 问题4：若m 分析：在数轴上标出m，n，p的大致位置，如图4，于是问题转化为在x轴上求一点，使它到m，n，p所对应的三点距离的和最小。易知当x=n时，它到m，n，p所对应的三点的距离之和最小，故当x=n时，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。 5.运用数轴变换两圆的位置关系 如图5，数轴反映两圆的位置关系和数量关系，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1，R2，圆心距为d，则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来，如图5所示。 ■ 图5 问题5：已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（ ） A.内含 B.外离 C.内切 D.相交 分析：由题设，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由图6知R1-R2 6.借助数轴，进行代数式的化简 ■ 问题6：已知有理数a、b在数轴表示的位置如图7所示，试化简：■-a-b 观察数轴上字母的位置不难发现，a+b>0，a-b>0根据绝对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解。 7.用数轴找临界点，求点的象限范围 问题7：点（x，x-1）不可能在第几象限。 ■ 图8 8.无理数的理解 问题8：关于π的理解： 用直径为1的圆，从数轴原点沿数轴滚动一周，所得到的点的位置就是π。 问题9：■的认识： 好奇的古希腊人在数轴上以线段[0，1]为底边作正方形，以O为圆心，过O点的对角线为半径画弧，交数轴正方向于D。D点表示的数是■。 以上是我在初中教学中，对数轴的一些用法，感觉数轴它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方面的数学问题，是研究初中数学的有效工具之一，也是培养学生提高分析解题能力的好工具。 参考文献： 刘锦海.与数轴有关的问题.中学课程辅导：初一版，2004（08）. （作者单位 甘肃省酒泉市育才学校） ？誗编辑 张珍珍 摘 要：初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，很好地揭示了数与形之间的内在联系。对于某些数学问题，利用数轴去求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快。 关键词：数轴；作用；求解 初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。 一、数轴有四个方面的作用 1.数轴能反映出数形之间的对应关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来，而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。 2.数轴能反映出数的性质 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数——零，是个“中性”数；有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧。 3.数轴能解释数的某些概念 （1）相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。 （2）绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念，一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。 （3）近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表示出某一近似数的精确度。如，近似数3的精确度可在数轴上表示，即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。 4.数轴可使有理数比较大小形象化 两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。 二、对于某些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快 1.用数轴比较实数大小，解决求样本的中位数的问题 问题1：由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，则1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位数是____________。 分析：要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数轴。 解：在数轴上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的点，使x1 ■ 观察数轴知x1 2.用数轴求字母的取值范围求值 问题2：若不等式组的解集不在2 ■ 解：由不等式组x-a>1a-x>-3 所以a+1 3.用数轴解含有绝对值的方程 ■ 问题3：解方程：x+3+x-1=6 分析：由绝对值的几何意义可知，此方程表示在数轴上求一动点x，使x到定点A（-3）的距离与到定点B（1）的距离之和等于6，如图3。由数轴上的点的性质可知，这样的点x有两个，即表示-4与2的点，所以方程的解为x=-4或x=2。 4.用数轴取零点，求最值 问题4：若m 分析：在数轴上标出m，n，p的大致位置，如图4，于是问题转化为在x轴上求一点，使它到m，n，p所对应的三点距离的和最小。易知当x=n时，它到m，n，p所对应的三点的距离之和最小，故当x=n时，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。 5.运用数轴变换两圆的位置关系 如图5，数轴反映两圆的位置关系和数量关系，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1，R2，圆心距为d，则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来，如图5所示。 ■ 图5 问题5：已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（ ） A.内含 B.外离 C.内切 D.相交 分析：由题设，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由图6知R1-R2 6.借助数轴，进行代数式的化简 ■ 问题6：已知有理数a、b在数轴表示的位置如图7所示，试化简：■-a-b 观察数轴上字母的位置不难发现，a+b>0，a-b>0根据绝对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解。 7.用数轴找临界点，求点的象限范围 问题7：点（x，x-1）不可能在第几象限。 ■ 图8 8.无理数的理解 问题8：关于π的理解： 用直径为1的圆，从数轴原点沿数轴滚动一周，所得到的点的位置就是π。 问题9：■的认识： 好奇的古希腊人在数轴上以线段[0，1]为底边作正方形，以O为圆心，过O点的对角线为半径画弧，交数轴正方向于D。D点表示的数是■。 以上是我在初中教学中，对数轴的一些用法，感觉数轴它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方面的数学问题，是研究初中数学的有效工具之一，也是培养学生提高分析解题能力的好工具。 参考文献： 刘锦海.与数轴有关的问题.中学课程辅导：初一版，2004（08）. （作者单位 甘肃省酒泉市育才学校） ？誗编辑 张珍珍 摘 要：初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，很好地揭示了数与形之间的内在联系。对于某些数学问题，利用数轴去求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快。 关键词：数轴；作用；求解 初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。 一、数轴有四个方面的作用 1.数轴能反映出数形之间的对应关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来，而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。 2.数轴能反映出数的性质 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数——零，是个“中性”数；有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧。 3.数轴能解释数的某些概念 （1）相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。 （2）绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念，一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。 （3）近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表示出某一近似数的精确度。如，近似数3的精确度可在数轴上表示，即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。 4.数轴可使有理数比较大小形象化 两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。 二、对于某些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快 1.用数轴比较实数大小，解决求样本的中位数的问题 问题1：由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，则1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位数是____________。 分析：要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数轴。 解：在数轴上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的点，使x1 ■ 观察数轴知x1 2.用数轴求字母的取值范围求值 问题2：若不等式组的解集不在2 ■ 解：由不等式组x-a>1a-x>-3 所以a+1 3.用数轴解含有绝对值的方程 ■ 问题3：解方程：x+3+x-1=6 分析：由绝对值的几何意义可知，此方程表示在数轴上求一动点x，使x到定点A（-3）的距离与到定点B（1）的距离之和等于6，如图3。由数轴上的点的性质可知，这样的点x有两个，即表示-4与2的点，所以方程的解为x=-4或x=2。 4.用数轴取零点，求最值 问题4：若m 分析：在数轴上标出m，n，p的大致位置，如图4，于是问题转化为在x轴上求一点，使它到m，n，p所对应的三点距离的和最小。易知当x=n时，它到m，n，p所对应的三点的距离之和最小，故当x=n时，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。 5.运用数轴变换两圆的位置关系 如图5，数轴反映两圆的位置关系和数量关系，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1，R2，圆心距为d，则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来，如图5所示。 ■ 图5 问题5：已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（ ） A.内含 B.外离 C.内切 D.相交 分析：由题设，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由图6知R1-R2 6.借助数轴，进行代数式的化简 ■ 问题6：已知有理数a、b在数轴表示的位置如图7所示，试化简：■-a-b 观察数轴上字母的位置不难发现，a+b>0，a-b>0根据绝对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解。 7.用数轴找临界点，求点的象限范围 问题7：点（x，x-1）不可能在第几象限。 ■ 图8 8.无理数的理解 问题8：关于π的理解： 用直径为1的圆，从数轴原点沿数轴滚动一周，所得到的点的位置就是π。 问题9：■的认识： 好奇的古希腊人在数轴上以线段[0，1]为底边作正方形，以O为圆心，过O点的对角线为半径画弧，交数轴正方向于D。D点表示的数是■。 以上是我在初中教学中，对数轴的一些用法，感觉数轴它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方面的数学问题，是研究初中数学的有效工具之一，也是培养学生提高分析解题能力的好工具。 参考文献： 刘锦海.与数轴有关的问题.中学课程辅导：初一版，2004（08）. （作者单位 甘肃省酒泉市育才学校） ？誗编辑 张珍珍 一、构造函数巧证题 例1 已知a∈R+, 求证:undefined 证明 设undefined, 则构造函数 undefined 又 ∵f (x) 在[1, +∞) 上为增函数, ∴f (x) 在[4, +∞) 上仍为增函数. ∴当x=4时, f (х) 有最小值, 即 undefined 故a∈R+时, undefined 例2 设a, b为正数, 求证:undefined成立的充要条件是:对于任意实数x>1, 恒有undefined 分析 只要证不等式②对任意的x>1恒成立的充要条件是不等式①成立. 证明 设undefined, 即构造了一个函数f (x) . ∵x>1, ∴x-1>0. undefined ∵对任意x>1有undefined成立的充要条件是undefined 又undefined 故①成立的充要条件是②. 由以上两例可知, 利用不等式不便解决或者无法解决的问题, 一般回到函数方法来解决, 效果比较好. 二、构造函数巧求最值 例3 已知x≥0, 求undefined的最小值. 解 设undefined, 则构造函数 undefined ∵f (t) 在[1, +∞) 上为增函数, ∴f (t) 在[3, +∞) 上仍为增函数. ∴当t=3时, undefined 故x=0时, undefined的最小值是undefined 通过上例可以明显看出, 如果直接应用均值不等式求最值时, 则不满足条件.如若注意到所求的是undefined的形式的最值, 从而妙构函数undefined进而联想函数undefined的单调性, 就可以使问题迎刃而解. 三、构造函数巧求范围 例4 已知f (x) =loga (x+1) , 点P是函数y=f (x) 图像上的任意点, 点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g (x) , 当a>1且x∈[0, 1) 时总有2f (x) +g (x) ≥m恒成立. 解 由题意可知, 函数y=f (x) 的图像与函数y=g (x) 的图像关于原点对称. ∵y=f (x) 关于原点对称的函数为-y=f (-x) , ∴y=-f (-x) =-loga (1-x) . 即g (x) =-loga (1-x) . 由2f (x) +g (x) ≥m, 得undefined对a>1且x∈[0, 1) 恒成立. undefined 设t=1-x, 则构造函数undefined ∵x∈[0, 1) , 即0≤x<1. ∴0<1-x≤1 即t∈ (0, 1]. 又 ∵H (t) 在 (0, 2]上为减函数, 又t∈ (0, 1], ∴当t=1时, H (t) min=1. ∵a>1, ∴f (x) min=0, 即m≤0. 故m的取值范围是m≤0. 此例的解法体现了等价转化的数学思想, 两次转化最终化为函数undefined的形式, 再利用它的单调性就实现了化难为易从而解决问题的目的. 一、构造“椭圆模型” 例1解方程[x2+ 4x+8]+[x2-8x+20]=10． 解将原方程配方，得 [(x + 2)2 + 4] +[(x - 4)2 + 4]=10． 令[y2=4]， 即有[(x + 2)2 + y2] +[(x - 4)2 + y2]=10． 根据椭圆定义，它表示以(－2，0)、(4，0)为焦点，长、短半轴分别为5、4的椭圆[(x - 1)225]+[y216]=1， 将[y2=4]代入椭圆方程中，解得[x=1±532]． 经检验，[x=1±532]均是原方程的解． 例2已知[cos4α sin2β]+[sin4α cos2β ]=1，求证：[α]+[β]=[π2]. 证明由已知点[A(cos2α，sin2α)]、[B(sin2β，][cos2β)]都在椭圆[x2 sin2β]+[y2 cos2β =1]上，过点[B]的切线方程为[x+y=1]，而点[A]又在此切点上，由切点的唯一性知，点[A]与点[B]重合． ∴[cos2α=sin2β]且[sin2α=cos2β]， ∴cos[α]=sin[β]=cos([π2]－[β])， 又 [α、][π2]－[β]∈(0，[π2])， ∴[α]=[π2]－[β]，即[α+β=π2]． 二、构造“双曲线模型” 例3解不等式 [|x－5|－|x+3|＜6]． 解取[y2=0]，则原不等式可化为[(x - 5)2+ y2][-(x + 3)2 + y2]＜6． 据双曲线知识，该不等式表示以(－3，0)和(5，0)为焦点，实、虚半轴分别为3、[7]的双曲线[(x - 1)29]－[y27]=1的左支“外部”． 令[y2=0]，得顶点为(－2，0)、(4，0)，取左支外部． ∴原不等式的解集为[{x|x＞－2}]． 例4已知[sec4α sec2β]－[tan4α tan2β =1]，求证：[sec4β sec2α]－[tan4β tan2α =1]． 证明由已知点[A](sec2[α]， tan2[α])、[B](sec2[β]，tan2[β])都在双曲线[x2 sec2β]-[y2 tan2β ]=1上，过点[B]的切线方程为[x－y=1]，而点[A]也在此切点上，由切点的唯一性知 ，点[A]与点[B]重合． ∴sec2[α]=sec2[β]，且tan2[α]=tan2[β]， 数学转化法巧用管理论文 第5篇
小学数学巧用情境教学案例 第6篇
用数学模型巧解题 第7篇
用数轴，“巧”解题 第8篇
妙构函数巧用单调性解题举例 第9篇
构造圆锥曲线模型巧解题 第10篇
